倍立方問題，是指作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積。在2400年前的古希臘已提出這些問題，直至1837年，法國數(shù)學(xué)家萬芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規(guī)作圖不能問題。1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明π是超越數(shù)后，“化圓為方”也被證明為尺規(guī)作圖不能問題。

中文名

倍立方問題

外文名

Cubic problem

類別

古希臘三大幾何問題

起源地

西臘第羅斯島(Delos)

起源時間

公元前429年

所在領(lǐng)域

尺規(guī)組圖

問題

倍立方問題

傳說中，這問題的來源，可追溯到公元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘提洛島(Delos)，造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：

要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍，結(jié)果體積當(dāng)然就變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；接著人們又試著把體積改成原來的2倍，但形狀卻變?yōu)橐粋€長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救于當(dāng)時著名的學(xué)者柏拉圖。

開始，柏拉圖和他的學(xué)生認(rèn)為這個問題很容易。他們根據(jù)平時的經(jīng)驗(yàn)，覺得利用尺規(guī)作圖可以輕而易舉地作一個正方形，使它的面積等于已知正方形的2倍，那么作一個正方體，使它的體積等于已知正方體體積的2倍，還會難嗎？結(jié)果，……但是，柏氏門徒當(dāng)時倒有兩件差點(diǎn)成功的作法：

注解

注：『求體積是稜長?a?的立方體的2倍的立方體』，這問題可以轉(zhuǎn)化為『求在?a?與?2a?之間插入二數(shù)x,y，使?a,x,y,2a?成等比數(shù)列』?即?

故

?,?

，

從而?

,?故?

?，則稜長?x?的立方體即為所求。?1.?已知：線段?a?求作：對角線互相垂直的直角梯形ABCD，使得?,作法一

(?則?)?作法：?1.?作互相垂直的線M,線N,交點(diǎn)為O；2.?在M上取?

，在N上取

；?3.?取二曲尺，使一曲尺通過C點(diǎn)，且頂點(diǎn)在N上，另一曲尺通過D點(diǎn)，且頂點(diǎn)在M上，且二尺的另一邊互相密合，如此，便分別在M,N上產(chǎn)生A,B點(diǎn)，則四邊形ABCD中的OA（或OB）即為所求。討論：應(yīng)用原理為?

.?已知：線段?a求作：線段x,y，使得

?。作法二

作法：?1.?作互相平形且距離為2a的直線M,

.?在M,N之間，夾著三個全等的直角三角板，使他們的一個直角邊與M密合，相對頂點(diǎn)在N上*3.?固定最左邊的一個三角尺，且在最右邊的一個三角尺股?上取*4.?滑動右邊及中間的三角尺，使每個三角尺的斜邊與相鄰三角尺股交點(diǎn)(R及S)與E,Q共線，則?即為所求。作法三

3.?[以下是西元前350年希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯Menaechmus)的作法]?已知：線段?a?求作：線段x,y，使得

?作法：?*1.?作拋物線?[其中頂點(diǎn)(0,0)，對稱軸y軸，過

]?*2.?作拋物線?[其中頂點(diǎn)(0,0)，對稱軸x軸，過(?,a)]?¸?二拋物線交於P點(diǎn)?3.?過P作，則?即為所求?4.?[西元前150年戴可利斯(Diocles)發(fā)明一種蔓葉線(cissoid)?,此為三次曲線，它可解倍立方問題?作法：1.?是圓O內(nèi)互相垂直的直徑?2.?E點(diǎn)在弧BC上，Q點(diǎn)在弧BD上，并滿足?*3.?作?於H，交?於P，(P點(diǎn)的軌跡就是蔓葉線)?4.?則?討論：應(yīng)用原理為?